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常见的勾股数组都有那些？

更新时间：2023-10-15 14:40:04 | 编辑：气泡游戏网

3， 4， 55 ，12 ，137， 24 ，259 ，40 ，4111， 60 ，6113 ，84， 8515， 112 ，1138，15，1712，35，3748，55，73

第一类型

当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n, c=2n²+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：

n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

n=2时(a,b,c)=(5,12,13)

n=3时(a,b,c)=(7,24,25)

这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

第二类型

2、当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1, c=n²+1

也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：

n=3时(a,b,c)=(6,8,10)

n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

n=5时(a,b,c)=(10,24,26)

n=6时(a,b,c)=(12,35,37)

扩展资料：

公式证明

证明

a=2mn

b=m²-n²

c=m²+n²

证：

假设a²+b²=c²，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）

如果a,b均奇数，则a² + b² = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k

等式化为4k² = (c+b)(c-b)

显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）

作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数

往证：(M,N)=1

所以(M,N)=1得证。

依照算术基本定理，k² = p₁a₁×p₂a₂×p₃a₃×…，其中a₁,a₂…均为偶数，p₁,p₂,p₃…均为质数

如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi²|M, pi²|N，即M，N都是平方数。

设M = m², N = n²

从而有c+b = 2m², c-b = 2n²，解得c=m²+n², b=m²-n², 从而a=2mn

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