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常见的勾股数组都有那些?

更新时间:2023-10-15 14:40:04   |   编辑:气泡游戏网

3, 4, 55 ,12 ,137, 24 ,259 ,40 ,4111, 60 ,6113 ,84, 8515, 112 ,1138,15,1712,35,3748,55,73

第一类型

当a为大于1的奇数2n+1时,b=2n²+2n, c=2n²+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:

n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

n=2时(a,b,c)=(5,12,13)

n=3时(a,b,c)=(7,24,25)

这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

第二类型

2、当a为大于4的偶数2n时,b=n²-1, c=n²+1

也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:

n=3时(a,b,c)=(6,8,10)

n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

n=5时(a,b,c)=(10,24,26)

n=6时(a,b,c)=(12,35,37)

扩展资料:

公式证明

证明

a=2mn

b=m²-n²

c=m²+n²

证:

假设a²+b²=c²,这里研究(a,b)=1的情况(如果不等于1则(a,b)|c,两边除以(a,b)即可)

如果a,b均奇数,则a² + b² = 2(mod 4)(奇数mod4余1),而2不是模4的二次剩余,矛盾,所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k

等式化为4k² = (c+b)(c-b)

显然b,c同奇偶(否则右边等于奇数矛盾)

作代换:M=(c+b)/2, N=(c-b)/2,显然M,N为正整数

往证:(M,N)=1

如果存在质数p,使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a,这与(a,b)=1矛盾

所以(M,N)=1得证。

依照算术基本定理,k² = p₁a₁×p₂a₂×p₃a₃×…,其中a₁,a₂…均为偶数,p₁,p₂,p₃…均为质数

如果对于某个pi,M的pi因子个数为奇数个,那N对应的pi因子必为奇数个(否则加起来不为偶数),从而pi|M, pi|N,(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi²|M, pi²|N,即M,N都是平方数。

设M = m², N = n²

从而有c+b = 2m², c-b = 2n²,解得c=m²+n², b=m²-n², 从而a=2mn

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