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矩阵的特征多项式是什么?

更新时间:2023-10-13 09:45:44   |   编辑:气泡游戏网

n阶方阵A,行列式|λE-A| [E是n阶单位矩阵,λ是变量,这是λ的n次多项式,首项系数是1] 叫做A的特征多项式,[f(λ)=|λE-A|].f(λ)=0的根(n个),都叫A的特征值。

如果λ0是A的一个特征值,|λ0E-A|=0,(λ0E-A)为降秩矩阵,线性方程组(λ0E-A)X=0 [X=(x1,x2,……xn)′是未知的n维列向量] 必有非零解,每个非零解就叫矩阵A的关于特征值λ0的一个特征向量。

设A是数域P上的一个n阶矩阵,λ是一个未知量:

系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式,记¦(λ)=|λE-A|,是一个P上的关于λ的n次多项式,E是单位矩阵。

¦(λ)=|λE-A|=λn+a1λn-1+…+an= 0是一个n次代数方程,称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如:λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根,而在实数域内不一定有根,因此特征根的多少和有无,不仅与A有关,与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入(λE-A)X=0,得方程组(λ0E-A)X=0,是一个齐次方程组,称为A的关于λ0的特征方程组。因为|λ0E-A|=0,(λ0E-A)X=0必存在非零解,称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

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